Funcion cuadratica

Si en la función polinomial

P( x)= a_n  xⁿ  + _n-1 x^n-1+ _n-2 x^n-2+…+₁ x¹ + ₀

Consideramos que n= 2 se obtiene:

P( x)= a₂  x²  + ₁ x¹+ _o = ₂  x² + _1x+ _0,

La función  polinomial de grado dos es conocida como función cuadrática, su domino es

R  y su rango  depende de los coeficientes de la función.

Algebraicamente  puede expresarse utilizando diferente  formas, la forma que  has utilizado para referirte a una función de segundo grado llamada forma general de la función cuadrática es f(x) = a x² +bx + c

Los  coeficientes  a,b, y c   son  parámetros  importantes  que nos indican aspectos que tienen que v er con e comportamiento gráfico de las funciones .

Otra forma de representar la función de segundo grado es la forma estándar , que puede obtenerse  a partir de la forma general, que resulta mas fácil de manejar para gráficar, hacer traslaciones gráficas horizontales  y verticales.

Partiendo de la expresión

  f( x ) = a  x² + bx+ c

 Y completando el trinomio cuadrado perfecto, según  el siguiente  procedimiento,

  f( x ) = a  ₍ x² + b x ) + c

                           a

f( x ) = a    [ x² + b x ) + ( b) ²  ] – a (  b  ) ²  + C

                         a            2a              2a

f( x ) = a    [ x + b x )²  - a  b²   + C

                        2 a            4 a ²            

f( x ) = a    [ x + b  )²  -  b ²]  +4ac

                       2 a      4a        4a

Se obtiene  que

 F(x) = a ( x+ b    ) ²  + 4ac-b²

                      2a          4a      

Y  si,

h= - b

       2a

K= 4ac-b²

       4a  

La función resultante en

F( x) = a ( x-h)^{2 +} k,

Queda en forma estándar.

El punto ( g, k) es el vértice de la parábola, es también el punto donde la función alcanza su valor máximo o mínimo de acuerdo con el valor del coeficiente principal  a

Para  a> 0, la función tiene un mínimo y su gráfica abre hacia la parte positiva del eje y, ( gráfica  4 ).

Para  a< 0, la función tiene un máximo y su gráfica  abre hacia la parte negativa  del eje y, ( gráfica  5 ).

También  ocurre que el vértice de la parábola constituye  el punto donde la  gráfica de la función cambia de decreciente o acreciente si  a>0  y de creciente a decreciente  si a  > 0  y decreciente  a decreciente  si a <0.

Otro aspecto importante a considerar para construir el gráfico de una función es el cálculo de las intersecc iones  con los ejes, tanto x como y.

     Para hallar  las intersecciones  on el je y, es necesario igualar a x  con cero y para hallar las intersecciones  con el eje x, hay que igualar a y con cero.

   En la gráfica, las intersecciones con y es el punto (0,c) y las intersecciones con el eje x, son los puntos  ( r_{1, 0) y (} r_2, 0), donde  r_{1 y} r₂ son  las raíces de la función, que pueden obtenerse  por diferentes métodos que v an, desde el método gráfico, hasta diversos métodos  algebraicos de factorización o la fórmula general. Las raíces  r_{1 y} r₂ pueden ser reales o complejas. Cuando la gráfica  de la función no corta al eje de las x, se dice que las raices de la función son complejas.