Ahora, podemos definir lo siguiente.
Función
polinomial. Si una
función f está definida por f(x)=anxn+an-2x2+a1x+a0
donde a0, a1,…,an
son números reales an ≠0
y n≥ 0 se llama función polinomial
Son
ejemplos de polinomios : S ( x) =x2 +20x que es un binomio, t ( x) =
x2+20x+100 que es un trinomio y w ( x) =x6+ 20x3+32x2+
16 que es un polinomio de cuatro términos.
Cero reales. Son las raíces que hacen cero a un polinomio,
y en una gráfica cortan al eje x.
Cero complejos. Tienen una parte real y una parte imaginaria, son binomios conjugados
y en una gráfica no cortan al eje x.
Ejemplo:
Las raíces
reales x=5, x=2, y x= -2 pertenecen al polinomio
F(x)=
x3 - 5x2 – 4x + 20
y las raíces x=5, x=2i,
y x=-2i pertenecen al polinomio
g(z)
=x3 -5x2 +4x-20 donde el primer valor a1 es
real y los dos siguientes son
imaginarios. Los valores reales de una curva cortan al eje x del sistema
cartesiano rectangular y los valores
imaginarios nunca cortan al eje x.
Teorema
del residuo, Si r es cualquier número real el residuo de la
división del polinomio P ( x )=
a0 xn
+a1xn-1 +…+an x0 entre
x-r, es igual a P ( r). Es decir, si un polinomio f(x), se divide
por x-r, donde r es una constante, el
residuo es igual al valor del polinomio cuando x= r.
Ejemplo
Si dividimos f( x)= 2x3 +3x2
– x- 4 por ( x-4), entonces el residuo será:
f( 4 )= 128 + 48 -4 – 4= 168.
El teorema del
residuo es muy útil cuando se quieren encontrar los factores de un polinomio.
Para x= 1, f( 1)=
2+3-1-4= 0, por lo tanto ( x-1) es un
factor.
Teorema
del factor. Si el residuo de la división de un polinomio
es cero, entonces x – r es factor del polinomio, r su raíz y viceversa; f ( r)
= 0.
Ejemplo
Si f(x)= x2 + x – 6, los factores
son x-2 y x+ 3 porque
F( 2)= (2)2 + (2)-
6=0 y f ( -3 ) = ( -3)2 + ( - 3) – 6 = 0.
El teorema
del factor se deduce del teorema del residuo.
División sintética. Es el método
de división de polinomios que usa los teoremas del residuo y del factor para conocer sus cocientes. Ejemplo, dividir h ( x ) = x2 +x- 6 entre x – 2 da como cociente x + 3.
Es importante
que te familiarices con el uso de la división sintética. Para tener
mayor afectividad se recomiendan los pasos siguientes:
a)
Ordena los coeficientes del
polinomio y lista los coeficientes en
forma descendente.
b)
Si faltan términos en el polinomio descendente, escribe
coeficientes ceros en sus posiciones.
c)
Para dividir el polinomio entre x - a, coloca a la derecha con signo positivo
y, para el divisor x +a, utiliza
- a.
d)
Baja el primer coeficiente del polinomio
dividendo.
e)
Multiplicar por a y reduce la suma para cada columna
y realiza consecutivamente por el pasto anterior.
f)
Especifica el polinomio cociente y residuo obtenido.
La división
sintética se usa solamente para dividir
un polinomio entre un binomio de
la forma x-a, donde a es una constante.
Si el factor lineal propuesto es x-4, para la división sintética se toma
entonces x=4. Si el factor es, x+2 el valor utilizado será
x=-2.
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Division sintetica
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Procedimiento
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Polinomio dividiendo x2-x-6
Polinomio
divisor x+2
1 -1 -6 -2
1 -1 -6 -2
 -2
1
-3
1 -1
-6 -2
-2 6
1 -3 0
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1.- Colocar los coeficientes del polinomio dividendo en
la primera fi- la hace x+2= 0
igualando se despeja y se obtiene
x=-2; este valor colocarlo en la esquina superior derecha.
2.- Sitúa el primer valor del polinomio ( 1) y multiplicado por el factor -2, ubicado en
la segunda columna, efectúa la reducción -1-2 = - 3 y Lo colocas debajo de la línes.
3.- Multiplica el factor -2 por – 3 ( que es igual a 6)
colócalo en la tercera columna. Efectúa
la reducción de la tercera columna.
4.- Haz finalizado, el
polinomio cociente son dos términos cuyos
coeficientes con 1 y -3 que forma la expresión x-3, de tal manera que
uniendo los factores tenemos h(x)= ( x+2 ) ( x – 3 )= x2- x – 6
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Gracias por compartir ejemplos de ejercicios División Sintética son de mucha ayuda.
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