Matematicas 4

Funcion escalon

Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo ]c_k, c_k+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos c_k.

CARACTERISTICAS

Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera.

Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así:

$\begin{array}{rrcl} s : & [-1,5 ] \in R & \to & R \\ & x & \to & y = s(x) \end{array}$

En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

$s (x) = \left \{ \begin{array}{rcr} 1 & \mbox{si} & -1 \le x < 1 \\ -1 & \mbox{si} & 1 \le x < 2 \\ 3 & \mbox{si} & 2 \le x < 4 \\ 2 & \mbox{si} & 4 \le x \le 5 \end{array} \right.$

Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.

La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

Ejemplo de la función escalón.

El costo de una llamada telefónica diurna de larga distancia desde Toronto a munbai, India es 69 centavos de dólar para el primer minuto y 58 centavos por cada minuto adicional ( o parte del minuto). Dibuja la gráfica del costo C ( en dólares ) de la llamada telefónica como función del tiempo t ( en minutos )

Solución:

Sea C( t) el costo t minutos. Puesto que t>0,el dominio de la función es ( 0 , ∞ ). De a información suministrada, se tiene

C ( t) = 0.69 si 0 < t ≤ 1

C(t)=0.69+0.58=27.27 si 1 < t ≤ 2

C ( t)= 069 + 2 (0.58)= 185 si 2 < t ≤ 3

C( t) = 0.69 + 3 (0.50 )= 2.43 si 3 < t ≤ 4

Funcion Identidad

En matematicas una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.

La función identidad puede describirse de la forma siguiente:

$\begin{array}{rrcl} id : & M & \to & M \\ & m & \to & n = id(m) \equiv n = m \end{array}$

o tambien:

$\operatorname{id}_M : M \mapsto M$

$\operatorname{id}_M(m) = m \,$

La función identidad es trivialmente idempotente, es decir:

$\operatorname{id}_M(\operatorname{id}_M(x)) = \operatorname{id}_M(x) = x \,$

Ejemplos:

La función $f(x)=x \,$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas la línea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha.

La función identidad en $\mathbb{R}_p^2$ (el plano de los reales tomando las coordenadas polares) es la función determinada por la ecuación $r=\theta$ : una espiral que se aleja del origen uniformemente en el sentido contrario a las agujas del reloj.

La función identidad en $\left \{ 0,1\right \}$ es la doble negación, expresada por $\not \neg x$ .

Funcion Constante

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos

Representar como una función matemática de la forma f( x) = c, donde c, pertenece a los números reales y siempre permanecerá con el mismo valor es decir es una constante.

Como se puede ver en la gráfica de arriba, ésta función es una recta horizontal en el plano cartesiano x, y en la gratica la hemos representado en el plano, esta función no depende de x.

Si y= f(x) entonces y = c, donde c tiene un valor constante. En la gráfica tenemos representadas, para valores de c iguales a:

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	7	7	7	7	7	7	7

Y= 7

X	-5	-3	-1	0	2	4	6
y	4	4	4	4	4	4	4

Y=4

X	-3.	-2.5	-1.5	0	1.5	2.5	3.5
y	-3.5	-3.5	-3.5	-3.5	-3.5	-3.5	-3.5

Y=-3.5

La función constante como un polinomio en x es de la forma f( x) = cx^o

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor C.

Sea f R h R, cuya regla de correspondencia es f( x)= c, donde c es una constante, es decir, sea cual fuere el valor de x su imagen siempre es c.

Funcion Inversa

Si f es una función inyectiva considerada como el conjunto ( x,y , ésta función tiene una función i

inversa denotada como f^-1 siendo el conjunta ( y, x) el que lo conforma. Se cumple que el dominio de f^-1 es el contradominio de F y que el contradominio de f^-1 es el dominio de f.

Determinación de la inversa de una función.

Paso 1 Encuentra el dominio de f y verifica que la función es inyectiva. Si no es inyectiva, no continúes, ya que no existe f^-1,^,o determina un intervalo en el cual la función sea uno a uno, y ahí sí se podrá encontrar la inversa

Paso 2 Intercambia x por y en f y despeja a y, esta será f^-1,.

Paso 3 Encuentra el dominio de f^-1, éste debe ser igual que el rango de f.

Para verificar que la inversa es la correcta basta con realizar la composición de la funciones y que en ambas el resultados sea la función identidad, dicho en otras palabras, que:

f º f^-1 ( x) = f(f^-1( x) ) = x

f^-1 o f(x) = f^-1( f(x) ) = x

Funcion Inversa, parejas ordenadas

La inversa de una función se obtiene cambiando el orden de x por y en las parejas y viceversa, es decir (x, y ) por ( y, x). Es importante tomar en cuenta que:

Ø Para definir la inversa de una función, ésta debe ser inyectiva.

Ø La inversa de una función no siempre es función, se necesita que sea biyectiva ( inyectiva y sobreyectiva) para que se considere como una función .

Bloque 2: Aplicas Funciones Especiales y Transformaciones de Gráficas

FUNCION INYECTIVA, SOBREYECTIVA Y BIYECTIVA

< Si a cada elemento de x le corresponde un solo elemento de y, se dice que la funciones iyectiv a o uno a uno.

< Cuando todos los valores del dominio tienen imagen en el contradominio, incluso mas de una imagen: es decir, no queda un solo valor de Y que no tenga al menos un elemento de x, se dice que la relación es sobreyectiva o suprayectiva

Función Inyectiva

Función sobreyectiva o suprayectiva

Ejemplo 1:

Determina si la relación “x es novio de y” es una función inyectiva en cada uno de los casos.

Solución:

a) Esta función no es inyectiva, porque José y Juan son novios de la misma mujer.

b) Si la función inyectiva, ya que a cada hombre sólo le corresponde ser novio de una sola mujer.

Clasificacion De Las Funciones De Acuerdo A La Relacion Entre Dominio Y Rango

FUNCION INTECTIVA: Esta función a cada elemento del dominio le corresponde de un solo elemento en el contradominio; es decir, que argumentos distintos les corresponden imágenes distintas. A estas funciones se les conoce como uno- uno.

f(x)= x-2

Cada número del conjunto A se le asocia solamente con un solo numero en C, el cual es dos unidades menos.

FUNCION SOBREYECTIVA En éste tipo de funciones el contradominio es imagen; es decir todos los elementos del contradominio están relacionados con un elemento del contradominio. En ellas el rango y el contradominio son iguales.

f(x)=X²

Cada número el conjunto B se asocia con un elementos del conjunta D( el cual es el cuadrado del argumento ).

FUNCION BIYECTIVA. Este Tipo de funciones son tanto uno a uno como sobreyectivas, también se les llama biunívocas

f(x)= 3x

A cada elemento del conjunto A se le asocia con uno y sólo un elemento del conjunto B ( la imagen es el triple del argumento).

APLICACIONES DE FUNCIONES

1. Problema resuelto. La tortillería “Carmen “ ofrece el kilo de tortilla a sus clientes como un precio de $ 12.00

a) Escribe la expresión matemática que nos ayuda a obtener el importe y a pagar por la cantidad x de tortillas vendidas .

b) El ingreso obtenido para 2,3,4 y 5 kilos de tortilla.

c) ¿ Cuántos kilos de tortilla habrá vendido la “tortillería Carmen” si obtuvo un ingreso de $ 120, $ 340, $ 710,$ 830 y $ 1,050?

d) Elabora una tabla con el dominio { 0, 1, 2,3,4,5,6, } kilos de tortilla,

e) Elabora la gráfica de la tabla obtenida.

Solución

a) La expresión matemática es y= 12x, el cual se trata de una función.

b) El ingreso obtenido para 2,3,4, y 5 kilos de tortilla son:

f( 2) _ 12 ( 2)= $ 24

f( 3) = 12( 3 ) = $36

f( 4)= 12( 4)= $ 48

f( 5)= 15( 5): $ 60

Que en forma de parejas ordenadas queda como

( 2, 24) ( 3, 36) ( 4, 48) ( 5, 60)

c) Cuantos kilos de tortilla habrá vendido la tortillería Carmen si obtuvo un ingreso de $ 120, $ 348 y $ 720?

Puesto que y= 12_x, tenemos que x=12

Para :

Y=120 y= 348 y= 720

120 = 10 kg x= 348 = 29 kg x= 720 = 60 kg

X=12 12 12

Que en forma de parejas ordenas queda como :

( 10, 120) ( 29, 348) ( 60, 720) ( 70, 840) (88, 1056)

Elabora una tabla con el dominio { 0,1,2,3,4,5, 6 }

Kilos de tortilla

Tortilla (kg)	0	1	2	3	4	5	6
Ganancia ($)	0	12	24	36	48	60	72