Matematicas 4: mayo 2013

Ecuacion Exponencial

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

1.-

2.-

3.- Las propiedades de las potencias.

a⁰ = 1 ·

a¹ = a

a^m· a ⁿ= a^m+n

a^m: a ⁿ= a^{m - n}

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

aⁿ· b ⁿ= (a · b) ⁿ

aⁿ: b ⁿ= (a : b) ⁿ

Resolver las ecuaciones exponenciales:

Representacion Graficas De Funciones Trigonometricas

En la vida diaria existen muchos casos de funciones periódicas cuando la variable es el tiempo; situaciones como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. Un movimiento periódico es aquel en el que la posición(es) del sistema se pueden expresar en base a funciones periódicas, todas con el mismo período.

Para una función aplicada al conjunto de los números reales o al de los enteros, significa que la totalidad de su gráfica puede ser representada a partir de copias de una determinada porción de ésta, repetida a intervalos regulares.

Las funciones trigonométricas seno, coseno típicos de funciones periódicas, cuyo período es 360 grados. En el caso de la tangente, vemos que su periodo es menor, siendo 180 grados.

Función Seno

Función coseno

Funcion Tangente

Función Cotagente

Función Secante

Función cosecante

Propiedades de los logaritmos

1.-El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3.- El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4.- El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5.- Cambio de base:

Propiedades de los exponentes

1.- b^m bⁿ= b^n+m
En el producto con bases iguales se suman los exponentes.
Ejemplo: 2² 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵ = 32

·

2.-(b^m)ⁿ= b^{n m}Una base con doble exponente; se multiplican los exponentes.
Ejemplo: (3³)² = 3^{3 x 2} = 3⁶ = 729

·

3.-(ab)ⁿ= aⁿbⁿ
Un producto elevado a un exponente; cada factor se eleva a ese exponente.
Ejemplo: (7x)² = 7²x² = 49x²

·

4.-

En el cociente con bases iguales se restan los exponentes.
Ejemplo:

· 5.-

Un cociente elevado a un exponente; cada término se eleva a ese exponente.
Ejemplo:

·

6.-
Un cociente con exponente negativo es el recíproco del cociente positivo.
Ejemplo:

· 7.-
Un cociente con exponente negativo es el recíproco del cociente positivo.

Ecuaciones logaritmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1.- Las propiedades de los logaritmos.

2.-

3 .-

4.- Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos.

Resolver las ecuaciones logarítmicas

Razones trigonométricas y Razones circulares

SENO Y COSENO

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la
exsecante (sec θ − 1).

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sin (sen)	$\sin \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,$
Coseno	cos	$\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\tan \theta} \,$
Tangente	tan	$\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \,$
Cotangente	ctg (cot)	$\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \,$
Secante	sec	$\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sin \theta} \,$
Cosecante	csc (cosec)	$\csc \theta \equiv \frac{1}{\sin \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,$

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: $\alpha$ , del vértice A, se parte de un triángulo rectánguloarbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo $\alpha$ .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo $\alpha$ .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

$\sin \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo $\alpha$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

$\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.$

FUNCIONES CIRCULARES (seno & coseno)

Las seis funciones circulares también llamadas funciones trigonométricasson:seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Denotadas respectivamente por: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x.

Definición: Si x es un número real y (a, b) son coordenadas del punto circular P(x), entonces las seis funciones circulares o trigonométricasse definen como:

P(X) = (a,b)

Con esta definición podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de los puntos:

Identidades básicas:

Al observar la definición de las funciones circulares (trigonométricas) que cos x = a y sen x = b se puede obtener las siguientes identidades:

Como (a, b) = (cos x, sen x) está en el círculo unitario x² + y² = 1 entonces,

(cos x)² + (sen x)² = 1, que se escribe usualmente de la forma sen² x + cos² x = 1 es otra identidad trigonométrica. Estas cinco ecuaciones se conocen como identidades básicas.

Matematicas 4

miércoles, 29 de mayo de 2013